Original paper

Material derivatives of higher dimension in geophysical fluid dynamics

Fortak, Heinz

Meteorologische Zeitschrift Vol. 13 No. 6 (2004), p. 499 - 510

published: Dec 23, 2004

DOI: 10.1127/0941-2948/2004/0013-0499

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ArtNo. ESP025011306007, Price: 29.00 €

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Abstract

The familiar operator D/Dt in fluid dynamics defines the material derivative for a fluid particle with dimension zero. In this paper we define and use "macroscopic" or multidimensional material derivatives D1/Dt, D2/Dt and D3/Dt. They are the material derivatives of infinitesimal properties of the fluid having dimensions, i.e. when particles build a line, a surface area, or a volume. Simple rules between the three operators are presented that avoid complicated calculations in fluid dynamics. For example, these operators are invariant with respect to solid rotations of coordinate systems. We rewrite a number of equations of fluid dynamics in terms of these operators and show that simple identities involving these operators already contain the structure of known vorticity theorems, especially those given by Hans Ertel. One application deals with the circulation of eddy velocities in atmospheric turbulence, showing that this circutation maybe an almost material invariant with time. Further possible applications (e.g., in electrodynamics of fluids and in radiation hydrodynamics) are also suggested.

Kurzfassung

Die übliche materielle zeitliche Ableitung in der Hydrodynamik ist für eine Flüssigkeitspartikel definiert, die keine Dimension besitzt. In dieser Arbeit werden zusätzlich makroskopische materielle Ableitungen D1/Dt, D2/Dt und D3/Dt definiert und verwendet. Es handelt sich hierbei um materielle zeitliche Ableitungen von infinitesimalen Eigenschaften im Fluid, die Dimensionen besitzen, etwa solchen, die an materielle Linien, materielle Flächen oder an materielle Volumina gebunden sind. Zwischen den drei Operatoren bestehen einfache Beziehungen, welche helfen, viele komplizierte Rechnungen der Hydrodynamik zu umgehen. Besonders wichtig für das praktische Rechnen ist die Tatsache, dass diese Operatoren invariant gegenüber starren Rotationen von Koordinatensystemen sind. Eine Reihe wichtiger Gleichungen der Hydrodynamik läßt sich vorteilhaft unter Verwendung dieser Operatoren darstellen. Es wird gezeigt, dass einfache, mit Hilfe dieser Operatoren gebildete Identitäten bereits die Struktur bekannter Wirbelsätze, speziell diejenigen, die Hans Ertel angab, beschreiben. Eine Anwendung betrifft die Zirkulation der turbulenten Zusatzkomponenten der Strömung. Hier wird gezeigt, dass unter bestimmten Bedingungen diese Zirkulation materiell fast invariant sein kann. Weitere mögliche Anwendungen finden sich in der Dynamik und Energetik der elektromagnetischen Felder innerhalb eines Fluids sowie in der Strahlungshydrodynamik.