Original paper

Regional eigenmodes of global spectral dynamics. Part I: Theoretical background

Schmidt, Frank; Li, Wei; Snubrskije, Antal

Meteorologische Zeitschrift Vol. 14 No. 3 (2005), p. 395 - 405

published: Jul 12, 2005

DOI: 10.1127/0941-2948/2005/0034

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Abstract

Dynamic processes in sufficiently separated regions of the globe develop independently, as far as the typical regional scales are concerned. This, however, is not well represented in global spectral models since these rather tend to couple all regions with each other. In order to find the processes that are typical for one region only, we here use a method that has become known as partition of unity. For this purpose we define bell-shaped functions which are smooth of infinite degree, positive-valued with remarkable amplitudes only locally (like the Gaussian), and find an overlay of the region to be considered by these bells such that their sum is exactly unity within and zero outside the region and with a narrow transition. We speak of local and regional windows, respectively. And local is used for the area where bells are non-zero if density of bells corresponds to spectral resolution. Generally, the smooth bells themselves are expanded spectrally to a much higher degree. Consequently, the imprints of global dynamics on bells yield in their sum regional dynamics which is a true projection of global dynamics within the region as far as linear structures are concerned and zero outside. In particular, we find the linear operator with respect to a general basic state by scanning through the bells and, furthermore, eigenmodes which carry regionally relevant information only. Also to be emphasized, as compared to detection of regional aspects of global normal mode analysis, costs are reduced significantly. This is illustrated here for analysis of a 1-dimensional Burgers/Korteweg-DeVries equation. Application to a shallow water lower troposphere will be given in Part II.

Kurzfassung

Dynamische Prozesse in räumlich hinreichend weit getrennten Regionen der Erde entwickeln sich, was die typischen regionalen Skalen betrifft, praktisch unabhängig voneinander. Dieses ist jedoch in globalen Spektralmodellen nicht recht repräsentiert, denn in ihnen sind alle Regionen irgendwie miteinander gekoppelt. Um die für eine Region typischen Prozesse zu finden, wird hier eine Methode benutzt, die als Teilung der Eins bekannt ist. Dazu definieren wir glockenförmige Funktionen, die glatt sind und positive Werte haben mit bemerkenswerter Amplitude nur in einem lokalen Bereich. Die Gaußverteilung ist ein Beispiel. Darüber hinaus finden wir eine Überdeckung der zu betrachtenden Region durch diese Glocken, so dass ihre Summe exakt eins ist innerhalb und null außerhalb der Region bei einem schmalen Übergangsbereich. Wir sprechen von lokalen bzw. regionalen Fenstern. Lokal bedeutet, dass die Glockendichte der spektralen Auflösung entspricht. Die Glocken selbst werden zu einem viel höheren Grad spektral entwickelt. Als Folge definieren die Abdrücke der globalen Dynamik auf den Glocken in ihrer Summe eine regionale Dynamik, die hinsichtlich der linearen Strukturen eine getreue Projektion der globalen Dynamik innerhalb der Region ist und außerhalb verschwindet. Insbesondere finden wir den linearen Operator bezüglich einem allgemeinen Grundzustand durch individuelles Durchlaufen der Effekte aller Glocken und weiterhin Eigenlösungen, die nur noch regional wichtige Informationen enthalten. Betont werden soll auch, dass im Vergleich zum Entdecken typischer regionaler Strukturen in global zu ermittelnden Normalmoden der Aufwand drastisch reduziert ist. Illustriert wird das hier für die Analyse einer 1-dimensionalen Burgers-/Korteweg-DeVries-Gleichung. Anwendung auf eine untere Flachwasser-Troposphäre folgt im Teil II.