# Analytical and practical examples of estimating the average nearest-neighbor distance in a rain gauge network

## Skok, Gregor

Meteorologische Zeitschrift Vol. 15 No. 5 (2006), p. 565 - 573

published: Nov 17, 2006

ArtNo. ESP025011505011, Price: 29.00 €

## Abstract

This paper deals with estimating the average n-th neighbor distance in a rain gauge network using analytical expressions. Research was carried out to find the relationship between the total number of rain gauges, the area size, and the shape of a domain on one side and the average distance to the n-th neighbor on the other side. Authors such as Hertz (1909) and Chandrasekhar (1943) have shown that when a random distribution of rain gauges and an infinite domain are assumed, a simple analytical formula can be obtained. For a circular domain, one gets a first neighbor formula, given by an integral which has to be integrated numerically. For neighbors located further away and other domain shapes, meaning not infinite and not circular, the best way to estimate the average n-th neighbor distance seems to be a computer program which uses a random number generator to distribute the rain gauges in a domain. After the process of random distribution is complete, then the distance to the n-th neighbor is found for each rain gauge. These distances are then averaged. We performed tests using seven domain shapes and the results show that the average distance to the nearest neighbor is always larger in a limited domain rather than in an infinite domain with the same rain gauge density. The difference between the average distance in an infinite and in a particular domain depends on the shape of the domain and the total number of rain gauges within it. The length of a boundary does not inherently influence the magnitude of the difference. However, the difference is small if the total number of rain gauges is large and a simple infinite domain equation can usually be used. For any tested domain the difference is less than 10 % if the number of rain gauges is larger than 100. The assumption of randomly distributed rain gauges limits the usefulness of the method. There are cases, such as smaller countries or country sub-regions, where the rain gauges might be more or less evenly scattered in the domain. In these cases the method is still useful and the distance to the n-th neighbor could be estimated using a simple analytical expression.

## Kurzfassung

Dieser Aufsatz befasst sich unter Zuhilfenahme von analytischen Ausdrücken mit der Schätzung der mittleren n-Nächste-Nachbarn-Entfernung in einem Messnetz von Regenmessern. Das Ziel der Untersuchung ist, eine Beziehung zwischen der Gesamtanzahl der Regenmesser, der Gebietsgröße und der Form des Gebiets einerseits und andererseits der mittleren Entfernung zum n-Nächste-Nachbarn zu finden. Autoren wie Hertz (1909) und Chandrasekhar (1943) zeigten, dass bei einer zufälligen Anordnung der Regenmesser in einem unendlich ausgedehnten Gebiet für diesen Zusammenhang eine analytische Formel angegeben werden kann. Bei einem zyklischen Gebiet erhält man einen integralen Ausdruck für den mittleren NächsteNachbarn-Abstand, der numerisch integriert werden muss. Für Abstände höherer Ordnung und andere Gebiete, d. h. nicht unendlich ausgedehnte bzw. zyklische Gebiete, scheint die beste Methode zur Schätzung der mittleren n-Nächste-Nachbarn-Distanz ein Computerprogramm zu sein, das einen Zufallszahlengenerator zur Verteilung der Messstationen verwendet. Nach der Verteilung der Messstationen werden dann die Entfernungen zu den n-Nächste-Nachbarn für jede Station bestimmt und die Ergebnisse anschließend gemittelt. Wir haben verschiedene Tests mit sieben verschiedenen Gebieten durchgeführt und festgestellt, dass bei gleicher Dichte der Messstationen die mittlere Entfernung zum nächsten Nachbarn in einem endlichen Gebiet stets größer ist als in einem unendlich ausgedehnten Gebiet. Der Unterschied zwischen den Entfernungen in einem endlichen und einem unendlichen Gebiet hängt von der Form des Gebiets und der Gesamtanzahl der Messstationen innerhalb des Gebiets ab. Dagegen beeinflusst die Länge der Gebietsberandung die Resultate nicht. Darüber hinaus ist der Unterschied der Entfernungen klein, sofern die Gesamtanzahl der Messstationen groß ist, so dass in diesem Fall für gewöhnlich die einfache Formel für unendlich ausgedehnte Gebiete verwendet werden kann. Bei den untersuchten Gebieten ist der Unterschied der Entfernungen stets kleiner als 10 %, sofern die Anzahl der Messstationen größer als 100 ist. Allerdings schränkt die Annahme räumlich zufällig verteilter Messstationen die Nützlichkeit der Methode ein. Es gibt jedoch Situationen wie sie in kleineren Ländern oder in Subregionen von Ländern vorkommen, bei der die Messstationen mehr oder weniger gleichmäßig im Gebiet verteilt sind. In diesen Fällen liefert die Methode nützliche Ergebnisse und die mittlere Entfernung zum n-Nächste-Nachbarn kann mit Hilfe der analytischen Ausdrücke abgeschätzt werden.