Original paper

Empirical master equations: Numerics

Egger, Joseph; Dall'Amico, Mauro

Meteorologische Zeitschrift Vol. 16 No. 2 (2007), p. 139 - 147

published: May 7, 2007

DOI: 10.1127/0941-2948/2007/0196

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ArtNo. ESP025011602001, Price: 29.00 €

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Abstract

Empirical master equations are linear forecast equations for the probability density distribution in the discrete phase space of observed variables. Their coefficients are determined from data. The choice of the discretization is crucial for the success of the empirical master equations which are used both for prediction and system analysis. The quality of forecasts depends, in particular, on the choice of the time step Dt and of the spatial resolution Dq. The related numerical problems are discussed by working with data from two-dimensional dynamical systems. First, simple flow configurations in phase space like pure transport, deformation and rotation are prescribed to provide the data for the master equations. The coefficients of the empirical master equations for these simple flows can be evaluated exactly. The probability density function related to these simple flows is governed by a Liouville equation which can be solved analytically. These exact solutions are compared to the forecasts obtained from the master equations where mainly uniform Cartesian grids are prescribed. It is found that the numerical diffusion of the predictions decreases with increasing time step in all cases. It is demonstrated that this effect is due to the adjustment of the coefficients of the master equations to the time step. The numerical diffusivity is shown to vary ∼ Dq2/Dt in pure transport where analytic solutions of the master equations are available. The master equations provide excellent forecasts for the mean positions of clouds of states in unbounded domains. This forecast quality deteriorates in the presence of boundaries. It is shown, however, that perfect forecasts are possible in all these linear flow situations provided the grid and the time step are adapted to the flow. Second, empirical master equations are derived from the data of the chaotic baker's transformation. It is shown that perfect empirical master equations can be designed in this case provided the grid is uniform. This shows that chaotic systems are not per se difficult to handle by empirical master equations.

Kurzfassung

Empirische Mastergleichungen sind lineare Vorhersagegleichungen für Wahrscheinlichkeitsverteilungen in einem diskretisierten Phasenraum, der durch Variablen aufgespannt wird, für die Beobachtungen vorliegen. Die Koeffizienten der Mastergleichungen werden aus diesen Beobachtungen abgeleitet. Die Festlegung der Diskretisierung ist entscheidend für den Erfolg der Mastergleichungen, die für Vorhersagen und für die Datenanalyse genützt werden. Die Vorhersagegüte hängt unter anderem von der Wahl des Zeitschritts Dt und der räumlichen Auflösung Dq ab. Die entsprechenden numerischen Probleme werden diskutiert, wobei Daten von zweidimensionalen dynamischen Systemen herangezogen werden. Zunächst werden diese Abhängigkeiten anhand einfacher Strömungssysteme im Phasenraum untersucht wie sie durch homogenen Transport, durch Deformationsfelder oder durch Rotation entstehen. Die Koeffizienten der Mastergleichungen können in diesen Fällen exakt bestimmt werden. Die Wahrscheinlichkeitsdichte wird durch eine Liouvillegleichung beschrieben, die analytisch gelöst werden kann. Diese exakten Lösungen werden mit den Vorhersagen verglichen, die man von den Mastergleichungen erhält, wobei meist kartesische Gitter gewählt werden. Es zeigt sich, dass die numerische Diffusion bei Vorhersagen stets mit der Zunahme des Zeitschritts abnimmt. Dieser Effekt rührt von der Anpassung der Gleichungskoeffizienten an den Zeitschritt her. Der numerische Diffusionskoeffizient ist bei reinen Transportproblemen proportional zu ∼ Dq2/Dt. In diesem Fall kann eine analytische Lösung für die Mastergleichung angegeben werden. Vorhersagen der mittleren Position von Zustandsverteilungen sind hervorragend, sofern der Strömungsbereich unbeschränkt ist. Die Güte der Vorhersagen nimmt in der Gegenwart von Rändern ab. Perfekte Vorhersagen sind in allen Fällen möglich, wenn Gitter und Zeitschritt an die Strömung angepaßt werden. Ferner werden empirische Mastergleichungen für das chaotische System der Bäckertransformation abgeleitet. Es wird gezeigt, dass perfekte Vorhersagen möglich sind, wenn nur die Diskretisierung sich gleichförmiger Maschenquadrate bedient. Daraus folgt, dass die Behandlung chaotischer Systeme durch empirische Mastergleichungen nicht a priori schwierig ist.