Original paper

Circular targets in perspective projection - in an image and in bundle adjustment

Wrobel, Bernhard P.

Abstract

The perspective of a circular target generally is an ellipse, its centre e′, however, differs from the projected target centre m′. If e′ is introduced into a bundle block adjustment instead of m′ it may cause sensible deformations. A strict derivation of m′ is presented by solving the polarity N = C′m′, with N the normal of the target and C′ the matrix of the target ellipse in the image. Its solution by single value decomposition (SVD) gives two values for N,m′, which in the context of a bundle block can be resolved easily. In section 4 the treatment of over-determined circular targets in a bundle adjustment is discussed. Three correspondence models are presented. The first two rely on the points of the elliptical target which were extracted from its digital image function. The centre of the circular target is determined in 3D, respectively, the target circle as a whole and their statistical uncertainties. The third model solves the correspondence by reconstructing the target in object space directly from its pixel grey values: the target plane and its brightness function, following the concept of facets stereo vision. It applies the original digital image function completely comprising the rays of all pixels around each target (called here a pixel bundle), and it derives the parameters by Gauß-Markov-optimization. In all, it is able to provide the optimal solution. This concept immediately may be transferred to general key points. Thus, the classical bundle block composed of all rays to object points may evolve to a block of pixel bundles, each referring to a key point or a circular target and their close surroundings.

Kurzfassung

Die Perspektive einer Kreismarke K ist im Allgemeinen eine Ellipse, deren Mittelpunkt e′ jedoch von der projizierten Kreismitte m′ verschieden ist. Benutzt man e′ in einer Bündelblockausgleichung anstelle von m′, so können spürbare Verformungen des Bündelnetzes auftreten. Es wird eine strenge Herleitung von m′ vorgestellt durch Lösung der Polarität N = C′m′, mit N der K-Normalen und C′ der Matrix der K-Ellipse im Bild. Mit Hilfe einer SVD (single value decomposition) von C′ erhält man zwei Wertepaare für N,m′, das zutreffende davon ergibt sich leicht in einer Bündelausgleichung. Im Teil 4 wird die Behandlung von überbestimmten K in einer Bündelausgleichung mit drei Korrespondenzmodellen diskutiert. Die ersten beiden verwenden die Punkte der K-Ellipse, die aus der digitalen Bildfunktion extrahiert worden waren. Es wird die K-Mitte im 3D-Raum bestimmt bzw. die K als Ganzes einschließlich der statistischen Unsicherheit. Das dritte Modell löst die Korrespondenz durch die Rekonstruktion der K im 3D Raum direkt aus den originalen Pixelgrauwerten: die K-Ebene und ihre Helligkeitsfunktion nach dem Konzept des Facetten-Stereo-Sehens. Dabei werden die Abbildungsstrahlen der Pixel der K-Umgebung (hier genannt Pixel-bündel) vollständig herangezogen und daraus die Modellparameter in einer Gauß-Markov-Optimierung abgeleitet. Das Modell ist in der Lage, die optimale Lösung zu erreichen. Das Konzept kann leicht auf die Verarbeitung von “natürlichen Punkten“ (key points) übertragen werden. Daher könnte der klassische Bündelblock, bestehend aus der Gesamtheit von Strahlen zu Objektpunkten, weiter entwickelt werden zu einem Block aus Pixelbündeln, entweder zu einem natürlichen Punkt oder einer künstlichen Marke und deren enger Umgebung.

Keywords

centres of perspective circular targets correspondbundle adjustment based on pixel bundles