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Frank Ferstl:

Mittlere Mathematik

Ein Lehr- und Übungsbuch zur Vorbereitung auf das Studium

2016. 2. ergänzte Auflage, 185 Seiten, 15x21cm, 380 g
Language: Deutsch

ISBN 978-3-443-01091-1, brosch., price: 18.00 €

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Keywords

StudienanfängerNaturwissenschaftenSchulmathematikÜbung

Contents

Inhaltsbeschreibung top ↑

Mittlere Mathematik schließt die Lücke zwischen der Elementarmathematik, wie sie in Realschule und Gymnasium heutzutage gelehrt wird und dem, was Hochschulen und Universitäten als Grundlage der Höheren Mathematik für ein erfolgreiches Studium der Naturwissenschaften (aber auch anderer Studiengänge) voraussetzen.
Das Buch ist sowohl zum Selbststudium aber auch als Begleitbuch für mathemathische Aufbaukurse geeignet.
Der Autor legt Wert darauf, nicht nur die Zusammenhänge begreiflich zu machen und zu üben, sondern auch in die korrekte Sprechweise der Mathematik einzuführen (z.B. ∈ = "ist Element von").

In 26 Lektionen wird der zukünftige Student auf den notwendigen Wissensstand gebracht, wobei Beispiele und Übungsaufgaben den praktischen Umgang und die Fragestellungen einüben.

Alle 3 bis 4 Kapitel folgt ein Abschnitt zur Vorbereitung auf eine Klausur über die zuvor behandelten Themen.

Das Buch spricht alle diejenigen an, die sich auf den Einstieg in die Mathematik an Hochschule und Universität vorbereiten.

Vorwort top ↑

Die klassische Einteilung der Mathematik in Elementarmathematik und Höhere Mathematik krankt an der unbefriedigten Abgrenzung der Lehrinhalte beider Gebiete voneinander.

Oft hört man an den Schulen, in denen üblicherweise die Elementarmathematik gelehrt wird, den Satz: „Das verstehen Sie jetzt noch nicht – das wird Ihnen später im Studium erklärt.“ Und dann zu Beginn des Studiums an der Hochschule oder Universität, wo die Höhere Mathematik beginnt, hört der Studienanfänger zu seinem Erstaunen: „Das kennen Sie ja schon von der Schule – das wird hier vorausgesetzt.“

Der Leidtragende ist auf jeden Fall der Studienanfänger und ein Großteil der Schwierigkeiten im Fach Mathematik, die für ihn beim Übergang von der Schule zur Hochschule erfahrungsgemäß auftreten, ist auf die ungenügende Kontinuität zwischen Elementarmathematik und Höherer Mathematik zurückzuführen. Es fehlt das Bindemittel zur Überwindung dieser Diskrepanz, es fehlt eine Mittlere Mathematik.

Viele Hochschulen versuchen deshalb, durch Vorbereitungslehrgänge oder Brückensemester die Lücke zwischen Elementarer und Höherer Mathematik zu schließen. Aus diesem praktischen Bedürfnis heraus ist dieses Lehr- und Übungsbuch der Mittleren Mathematik entstanden. Es wurde über mehrere Jahre bei der Vorbereitung ausländischer Studierender auf ein Hochschulstudium in Deutschland erprobt und es gelang stets, die bei Ausländern besonders starken Niveauunterschiede im Fach Mathematik so auszugleichen, dass kaum Probleme zu Beginn der Höheren Mathematik im Studium auftraten.

Der Aufbau der 26 Lektionen der Mittleren Mathematik folgt nach dem Prinzip der Triplizität: a) Lehrervortrag und Erklärung eines in sich abgeschlossenen mathematischen Themas b) Selbststudium des schriftlich fixierten Vortrages mit Fragenbeantwortung c) Lösen von Übungsaufgaben und Problemdiskussion der Lektion im Seminar In den ersten Lektionen der Mittleren Mathematik werden Mengenlehre, Logik, Rechenoperationen und Zahlenbereiche behandelt. In den nachfolgenden Lektionen wird die Differenzialrechnung vorbereitet. Dabei wird deutlich gemacht, welch große Bedeutung die Zahlenfolgen bei der Begründung der Infinitesimalrechnung spielen. Schwerpunkt der Lektionen 10–15 ist die Differenzialrechnung mit ihren Anwendungen. Die Lektion 16 beschäftigt sich mit der Kombinatorik und dem Wahrscheinlichkeitsbegriff im Modell von Bayes. Anschließend in den Lektionen 17–21 wird die Integralrechnung mit ausgewählten Anwendungen behandelt. Die letzten Lektionen widmen sich den Matrizen, den Determinanten, den Vektoren und der analytischen Geometrie. Zur Kontrolle der Lehrinhalte dienen Klausurvorbereitungen und Klausuren nach jeweils etwa vier Lektionen und am Ende sieben Prüfungsbeispiele zur Vorbereitung auf die Prüfung. Das selbständige Lösen und Durchdenken dieser Aufgaben und Probleme ist weit mehr als die passive Aneignung der Lehrinhalte.

Wenn manchem Studierenden gerade das Lösen der praktischen Anwendungsaufgaben größere Schwierigkeiten bereitet, so garantiert das „Sich- Reinknien“ in das Problem, die Zähigkeit und Selbständigkeit beim Lösen der Aufgaben auch den größten individuellen Gewinn. Und dieser Gewinn zahlt sich auch in den Fächern aus, die die Anwendung der Mathematik erfordern.

Alle mit der Mittleren Mathematik gemachten Erfahrungen in den letzten Jahren zeigen, dass die Kluft zwischen Elementarer und Höherer Mathematik auf ein Minimum herabgesetzt werden konnte und dass diejenigen, die sich damit auf ein Studium vorbereitet haben, einen wesentlich höheren Leistungsdurchschnitt als die übrigen Studierenden hatten, und das nicht nur im Fach Mathematik.
Möge in Zukunft der Satz „Das kennen Sie ja schon – das wird hier vorausgesetzt“ keine langen Gesichter und großes Erstaunen bei Studienanfängern hervorrufen, sondern Zustimmung finden und freudige Erinnerung an längst bekannte Tatsachen.

Inhaltsverzeichnis top ↑

Lektion 1: Grundbegriffe und Symbole der Cantor'schen Mengenlehre 1–4
Übungsaufgaben Lektion 1 5–6
Lektion 2: Relationen, Klasseneinteilungen und Grundbegriffe der Logik 7–10
Übungsaufgaben Lektion 2 11–12
Lektion 3: Rechenoperationen 1., 2. und 3. Stufe. Rationale Zahlen 13–16
Übungsaufgaben Lektion 3 17–19
Lektion 4: Zahlenfolgen und Menge der reellen Zahlen 20–24
Übungsaufgaben Lektion 4 25–26
Klausurvorbereitung: Lektionen 1 bis 4 27
Lektion 5: Die Menge der komplexen Zahlen 28–31
Übungsaufgaben Lektion 5 32–33
Lektion 6: Der Beweis durch vollständige Induktion 34–38
Übungsaufgaben Lektion 6 39–40
Lektion 7: Partialsummenfolgen und unendliche Reihen 41–45
Übungsaufgaben Lektion 7 46–47
Lektion 8: Nullstellen von Polynomen, Wurzelsatz von Vieta und
Nullstelleniteration 48–52
Übungsaufgaben Lektion 8 53–54
Klausurvorbereitung: Lektionen 5 bis 8 55
Lektion 9: Grenzwerte und Stetigkeit von Funktionen 56–60
Übungsaufgaben Lektion 9 61–62
Lektion 10: Einführung in die Differenzialrechnung 63–68
Übungsaufgaben Lektion 10 69–70
Lektion 11: Untersuchung von Eigenschaften von Funktionen mit Hilfe der
Differenzialrechnung 71–75
Übungsaufgaben Lektion 11 76–77
Klausurvorbereitung: Lektionen 9 bis 11 78
Lektion 12: Besondere Differenziations-Regeln und -Verfahren 79–82
Übungsaufgaben Lektion 12 83–84
Lektion 13: Anwendung der Differenzialrechnung auf einfache
Optimierungsprobleme 85–88
Übungsaufgaben Lektion 13 89–90
Lektion 14: Mac Laurin- und Taylorreihe. Regel von Bernoulli-L´Hospital 91–94
Übungsaufgaben Lektion 14 95–96
Lektion 15: Partielle Ableitungen, Nablaoperator und Satz von Taylor 97–100
Übungsaufgaben Lektion 15 101–102
Lektion 16: Kombinatorik und Satz von Bayes 103–106
Übungsaufgaben Lektion 16 107–109
Klausurvorbereitung: Lektionen 12 bis 16 110–111
Lektion 17: Das bestimmte Riemannsche Integral 112–116
Übungsaufgaben Lektion 17 117–118
Lektion 18: Die Integration als Umkehrung der Differenziation 119–123
Übungsaufgaben Lektion 18 124–125
Lektion 19: Integrationsmethoden 126–130
Übungsaufgaben Lektion 19 131–132
Lektion 20: Numerische Integration 133–137
Übungsaufgaben Lektion 20 138–139
Lektion 21: Anwendung der Integralrechnung 140–144
Übungsaufgaben Lektion 21 145–146
Klausurvorbereitung: Lektionen 17 bis 21 147–148
Lektion 22: Matrizen 149–153
Übungsaufgaben Lektion 22 154–155
Lektion 23: Determinanten 156–160
Übungsaufgaben Lektion 23 161–162
Lektion 24: Vektoren 163–165
Übungsaufgaben Lektion 24 166–167
Lektion 25: Linearkombination, Basis und Koordinatendarstellung von
Vektoren 168–171
Übungsaufgaben Lektion 25 172–173
Klausurvorbereitung: Lektionen 22 bis 25 174
Lektion 26: Vorträge und Übungen zur analytischen Geometrie 175–178
Überprüfung der Lehrinhalte der Lektionen 1 bis 26 durch
komplexe Aufgaben 179–185